本文主要针对大物实验的不确定度分析与有效数字进行说明，另外补充其他实验中的要点与注意事项。
Basic Information | 基本信息
- Subject: Experiments CollegePhysics
- Textbooks: 大学物理实验（其实并不需要
- Score:
- 22S 4.3/95
Basics ｜ 基础知识
Uncertainty Analysis ｜ 不确定度分析
数据处理
- 列表法
- 作图法
- 最小二乘法线性拟合
- 逐差法
测量
- 直接测量：用测量仪器直接得到的数据
- 间接测量：用若干个直接测量得到的数据计算出的数据
- 真值：实际的数据（理想）
测量误差=测量值-真值
掌握测量误差的计算之后，可以计算真值=测量值 \(\pm\) 测量误差
误差
- 系统误差
- 公式近似导致的理论误差
- 仪器不完善
- 环境条件
- 生理/心理因素
- 偶然误差
测量结果随机性 正态分布
置信区间：人为划定的、认为该区间中的数据可信的范围
置信概率：数据落在置信区间内的概率，常见0.68、0.95
不确定度
- 直接测量量
- A类不确定度：多次测量后，测量数据列与平均值的标准差
- 平均值
- 标准差\(σ\) 贝塞尔公式计算
3\(σ\)极限误差：无限次限量中测量误差绝对值大于3\(σ\)的概率仅为0.3%，有限次测量中可以通过估算将这样的数据去除 - 因子t 与测量次数n有关
- B类不确定度：单次测量情况下，不符合统计规律的不确定度
- 仪器最大允差\(\Delta_{仪}\)
- 估计误差\(\Delta_{估}\) 最小刻度的几分之一
- 置信系数C 与仪器测量误差的分布有关
- 置信因子k 与置信概率有关
- 合成不确定度：A类与B类不确定度通过平方和开根号计算合成 相同置信概率时才可进行合成
- 展伸不确定度：合成不确定度乘上包含因子K
- A类不确定度：多次测量后，测量数据列与平均值的标准差
- 间接测量量
- 一般通过不确定度传递公式进行合成
- 另外有最大不确定度算术合成公式用于估计
- 不确定度均分原理：测量结果的整体不确定度要求均匀分配到各个分量中，计算各分量影响从而选择仪器，指导实验
significance digit ｜ 有效数字
能够测量到的数据位数，可靠的数字（+估读的一位）组成的数据的位数
- 数据修约：四舍六入五进偶
- 直接测量
- 带刻度的仪器：读到最小刻度后，按\(\Delta_{估}\)往后估读一位
- 数字式仪器：读出显示的数值，位数即为有效数字
- 示数稳定，读出数值即为可靠的数字
- 示数末尾（一到两位）存在不稳定，读出稳定的之后按规律估读
- 间接测量
- 加减运算：以小数位数最少的数据为标准，其他各运算数据多一位进行修约，结果的有效数字归到小数位数最少数据的有效数字
- 乘除运算：以有效数字最少的数据为标准，其他各运算数据多一位进行修约，结果的有效数字归到有效数字最少数据的有效数字
- 常数（如\(\pi\)、e等）：多保留一位有效数字
- 计算过程中得到的中间计算结果：可以多保留一位有效数字
- 不确定度计算中得到的数字：化为科学计数法之后，小数点后保留一位；如果该位是1或2，则保留两位
Analysis Method ｜ 计算步骤 （仅用于参考步骤）
根据精度要求设计实验 - 单摆法求重力加速度
- 列出间接测量量计算公式
计算公式 \[g=4\pi^2 \frac{L}{T^2}\]
- 根据不确定度传递公式，将原公式取对数
两边取对数得 \[\frac{\Delta g}{g}=\frac{2\Delta T}{T}+\frac{\Delta L}{L}\]
- 根据误差均分原理，将所要求的精度误差平均分配到各分量上
要求 \[\frac{\Delta g}{g}<1\%\] 根据误差均分原理，需要 \[2\frac{\Delta T}{t}<0.5\%\] \[\frac{\Delta L}{L}<0.5\%\](其中t=nT,n=1,2,3......，L=l+D/2，l表示摆线长，D为摆球直径)
- 根据仪器的最大允差与误差要求，计算各分量的要求
在所提供器材中，用钢卷尺测量摆线长度的不确定度\(\Delta_\text{尺}\approx0.2cm\)，根据 \[\frac{\Delta l}{l}<0.5\%\]有\[l>\frac{\Delta l}{0.5\%} \approx 40cm\]即仅从钢卷尺测量摆线计算，摆线长至少为40cm。
需要结合实验的特点
对于摆球，取实验室中常见的直径为2cm的钢球，用游标卡尺测量直径，其不确定度有 \[\frac{\Delta D}{D}=\frac{0.002}{2}=0.1\%\]故在此情况下摆线长度不确定度最多为\(0.4\%\)，则有 \[\frac{\Delta l}{0.4\%} \approx 50cm\] 即计算得摆线长至少为50cm。
用秒表记录时间的不确定度 \[\Delta T\approx \Delta_\text{秒}+\Delta_\text{人}=0.21s\]\[t=nT>\frac{\Delta T}{0.25\%}\approx 84s\] 若对周期进行估计，可知需要 \[nT=2\pi n\sqrt{\frac{l+D/2}{g} }>84s\]化简并估算可得测量周期数n和摆长L需要满足关系\[n^2 L>1751.6\] 因此若取摆线长l=50cm，此时摆长为51cm，周期数n取60；
若取摆线长l=60cm，此时摆长为61cm，周期数n至少取54；
若取摆线长l=70cm，此时摆长为71cm，周期数n至少取50。
- 取定数据，检验是否符合要求
而由于在满足精度误差要求的情况下，摆长增加时，相对误差会减小，能够使得实验精度提高； 并且在摆动过程中，更有利于把摆球看成质点。
故实际实验中：
取摆线70cm，使用钢卷尺测量；
取摆球直径2cm，使用游标卡尺测量；
使用秒表测量单摆摆动50个周期的时间。
在此条件下，摆长的测量满足 \[\Delta L \approx {\Delta_\text{尺} }+{\Delta_\text{卡} } \approx 0.202cm\] \[\frac{\Delta L}{l+D/2} \approx \frac{0.202}{71} \approx 0.285\%\] 周期的测量满足 \[\Delta T \approx \Delta_\text{秒}+\Delta_\text{人}=0.21s\] \[T \approx 1.69s\] \[\frac{\Delta T}{t} \approx \frac{0.21}{50\times 1.69} \approx 0.248\%\]总体精度满足要求。
根据主要误差和次要误差设计实验 - 切变模量的测量
- 列出间接测量量计算公式
切变模量计算公式 \[G=\frac{4\pi Lm({r_\text{内} }^2+{r_\text{外} }^2)}{R^4({T_1}^2-{T_0}^2)}=\frac{16\pi Lm({d_\text{内} }^2+{d_\text{外} }^2)}{d^4({T_1}^2-{T_0}^2)}\]
- 根据不确定度传递公式，将原公式取对数
两边取对数得 \[\frac{\Delta G}{G}=\frac{\Delta L}{L}+\frac{\Delta m}{m}+ \frac{2r_\text{内} \Delta r_\text{内} }{ {r_\text{内} }^2+{r_\text{外} }^2}+\frac{2r_\text{外}\Delta r_\text{外} }{ {r_\text{内} }^2+{r_\text{外} }^2} +\frac{4\Delta R}{R}+\frac{2n_1 T_1\Delta T_1}{(n_1 T_1)^2-(n_0 T_0)^2}+\frac{2n_0 T_0\Delta T_0}{(n_1 T_1)^2-(n_0 T_0)^2}\]
- 要求测量中的次要误差在计算中可以忽略，即要求控制次要误差不超过主要误差的\(\frac{1}{3}\)
为确定测量周期\(T_1\)、\(T_0\)的最小个数\(n_1\)、\(n_0\)，
要求\(\frac{2n_0 T_0\Delta T_0}{(n_1 T_1)^2-(n_0 T_0)^2}\)，\(\frac{2n_1 T_1\Delta T_1}{(n_1 T_1)^2-(n_0 T_0)^2}\)均不超过主要误差的\(\frac{1}{3}\)，此处保守估计不超过主要误差的\(\frac{1}{5}\) 即 \[\frac{2n_0 T_0\Delta T_0}{(n_1 T_1)^2-(n_0 T_0)^2},\frac{2n_1 T_1\Delta T_1}{(n_1 T_1)^2-(n_0 T_0)^2}<max\{\frac{\Delta L}{L},\frac{\Delta m}{m},\frac{2r_\text{内} \Delta r_\text{内} }{ {r_\text{内} }^2+{r_\text{外} }^2},\frac{2r_\text{外}\Delta r_\text{外} }{ {r_\text{内} }^2+{r_\text{外} }^2},\frac{4\Delta d}{d}\}\]
- 粗测各直接测量量，根据\(\Delta_{仪}\)估计各个量的不确定度，找到主要误差
金属环质量\(m\approx 500g\)，可以认为\(\Delta m=0.5g\)，则\[\frac{\Delta m}{m}\approx 0.001\] 螺旋测微器精度\(\Delta_\text{螺}\approx0.001cm\)， 粗测钢丝直径\(d \approx 0.08cm\)，则\[\frac{\Delta R}{R}=\frac{\Delta_\text{螺} }{d}\approx 0.0125\] 游标卡尺精度\(\Delta_\text{卡}\approx0.002cm\)， 粗测圆环内径\(r_\text{内}\approx 8cm\)，圆环外径\(r_\text{外}\approx 10cm\)， 则 \[\frac{2r_\text{内} \Delta r_\text{内} }{ {r_\text{内} }^2+{r_\text{外} }^2}\approx 0.00020\] 卷尺精度\(\Delta_\text{卡}\approx0.2cm\)， 粗测钢丝长度\(L\approx 45cm\)， 则 \[\frac{\Delta L}{L}=\frac{\Delta_\text{卡} }{L}\approx 0.0044\]
- 代入计算，得到目标值
测量者的总反应时间\(\Delta_\text{人}\approx 0.2s\)，秒表的精度\(\Delta_\text{卡}\approx 0.01s\)，所以时间的精度\(\Delta t\approx 0.21s\) 粗测周期\(T_1\approx 3.6\)，\(T_0\approx 2.4\)， 因此 \[\frac{2n_0 T_0\Delta t}{(n_1 T_1)^2-(n_0 T_0)^2}<4\frac{\Delta R}{R}=0.05\] \[\frac{2n_1 T_1\Delta t}{(n_1 T_1)^2-(n_0 T_0)^2}<4\frac{\Delta R}{R}=0.05\] 可解得\(n_1\)至少要为30，\(n_0\)至少要为50。为测量和计算方便，取\(n_0\)、\(n_1\)均为50。
实验结果的不确定度分析 - 切变模量的测量
取定统一的置信概率P（推荐0.95）
计算直接测量量的不确定度
对多次测量量，需要合成A类和B类不确定度
计算平均值
使用贝塞尔公式计算标准差
金属丝长度L测量的标准差 \[\sigma_L=\sqrt{\frac{(46.48-46.45)^2+(46.42-46.45)^2+(46.45-46.45)^2}{3-1} }=0.0013cm\]
- 查表，根据次数n和置信概率P取定\(t_p\)和\(k_p\)；根据测量仪器确定最大允差和C
- 使用不确定度合成公式计算不确定度
那么金属丝长度L的展伸不确定度 \[U_{Lp}=\sqrt{(t_p \frac{\sigma_L}{\sqrt{n} })^2+(k_p\frac{\Delta_\text{卷} }{C})^2}=0.24cm\]
- (其他测量量同理)
金属环内径\(r_\text{内}\)测量的标准差\[\sigma_{r_\text{内} }=\sqrt{\frac{(7.900-7.913)^2+(7.924-7.913)^2+(7.914-7.913)^2}{3-1} }=0.000206cm\] 那么金属环内径\(r_\text{内}\)的展伸不确定度\[U_{r_\text{内} }=\sqrt{(t_p \frac{\sigma_{r_\text{内} } }{\sqrt{n} })^2+(k_p\frac{\Delta_\text{卡} }{C})^2}=0.0023cm\] 金属环外径\(r_\text{外}\)测量的标准差\[\sigma_{r_\text{外} }=\sqrt{\frac{(10.000-10.003)^2+(10.010=10.003)^2+(10.000-10.003)^2}{3-1} }=0.0000471cm\] 那么金属环外径\(r_\text{外}\)的展伸不确定度\[U_{r_\text{外} }=\sqrt{(t_p \frac{\sigma_{r_\text{外} } }{\sqrt{n} })^2+(k_p\frac{\Delta_\text{卡} }{C})^2}=0.0023cm\]
金属丝直径d测量的标准差 \[\sigma_d=\sqrt{\frac{(0.825-0.825)^2+(0.826-0.825)^2+(0.824-0.825)^2}{3-1} }=0.00000141mm\] 那么金属丝直径d的展伸不确定度 \[U_{dp}=\sqrt{(t_p \frac{\sigma_d}{\sqrt{n} })^2+(k_p\frac{\Delta_\text{螺} }{C})^2}=0.000653mm\]
扭摆不放金属环的周期\(T_0\)测量的标准差 \[\sigma_{T_0}=\sqrt{\frac{(2.3310-2.3297)^2+(2.3294-2.3297)^2+(2.3288-2.3297)^2}{3-1} }=0.00000183s\] 那么周期\(T_0\)的展伸不确定度 \[U_{T_0p}=\sqrt{(t_p \frac{\sigma_{T_0} }{\sqrt{n} })^2+(k_p\frac{\Delta_t}{C})^2}=0.025s\] 扭摆放金属环的周期\(T_1\)测量的标准差 \[\sigma_{T_1}=\sqrt{\frac{(3.6432-3.6415)^2+(3.6394-3.6415)^2+(3.6420-3.6415)^2}{3-1} }=0.00000534s\] 那么周期\(T_1\)的展伸不确定度 \[U_{T_1p}=\sqrt{(t_p \frac{\sigma_{T_1} }{\sqrt{n} })^2+(k_p\frac{\Delta_t}{C})^2}=0.025s\]
对于单次测量量，只需要计算B类不确定度
物块质量作为测量量处理，其用天平测量的展伸不确定度 \[U_{mp}=k_p\frac{\Delta_{平} }{C}=1.645\times \frac{0.0005}{\sqrt{3} }=0.0005g\]
- 根据不确定度传递公式计算间接测量量的不确定度，并得出最终结果
根据切变模量计算公式、扭转模量计算公式与不确定度传递公式， 得G的不确定度 \[\frac{\Delta G}{\bar{G} }=\sqrt{(\frac{\Delta L}{L})^2+(\frac{\Delta m}{m})^2+(\frac{4\Delta R}{R})^2+(\frac{2r_\text{内} \Delta r_\text{内} }{ {r_\text{内} }^2+{r_\text{外} }^2})^2+(\frac{2r_\text{外}\Delta r_\text{外} }{ {r_\text{内} }^2+{r_\text{外} }^2})^2+(\frac{2T_1\Delta T_1}{(T_1)^2-(T_0)^2})^2+(\frac{2T_0\Delta T_0}{(T_1)^2-(T_0)^2})^2}\approx 0.0279\] \[U_{Gp}\approx 1.4\times 10^{-1} g/(cm\cdot s^2) \qquad P=0.95\] D的不确定度 \[\frac{\Delta D}{\bar{D} }=\sqrt{(\frac{\Delta m}{m})^2+(\frac{2r_\text{内} \Delta r_\text{内} }{ {r_\text{内} }^2+{r_\text{外} }^2})^2+(\frac{2r_\text{外}\Delta r_\text{外} }{ {r_\text{内} }^2+{r_\text{外} }^2})^2+(\frac{2T_1\Delta T_1}{(T_1)^2-(T_0)^2})^2+(\frac{2T_0\Delta T_0}{(T_1)^2-(T_0)^2})^2}\approx 0.0273\] \[U_{Dp}\approx 1.4\times 10^{-1}g\cdot cm^2/s^2 \qquad P=0.95\] 根据切变模量计算公式，得G的平均值 \[\bar{G}=\frac{4\pi Lm({r_\text{内} }^2+{r_\text{外} }^2)}{R^4({T_1}^2-{T_0}^2)}=\frac{16\pi \bar{L}m({\bar{d_\text{内} } }^2+{\bar{d_\text{外} } }^2)}{\bar{d}^4({\bar{T_1} }^2-{\bar{T_0} }^2)}\approx 5.179\times 10^{11} g/(cm\cdot s^2)\] 根据扭转模量计算公式，得D的平均值 \[\bar{D}=\frac{4\pi^2}{ {T_0}^2}I_0=4\pi^2\frac{I_1}{ {T_1}^2-{T_0}^2}=\frac{\pi^2m({\bar{d_\text{内} } }^2+{\bar{d_\text{外} } }^2)}{2({\bar{T_1} }^2-{\bar{T_0} }^2)}\approx 5.071\times 10^4 g\cdot cm^2/s^2\] 所以切变模量G最终的测量结果为 \[G=\bar{G}\pm U_{Gp}=(5.18\pm 0.14)\times 10^{11} g/(cm\cdot s^2)\] 扭转模量D的最终测量结果为 \[D=\bar{D}\pm U_{Dp}=(5.07\pm 0.14)\times 10^{4} g\cdot cm^2/s^2\]